घातांक एवं करणी (Indices and Surds)

 घातांक (Indices) :- यदि किसी वास्तविक संख्या a को m बार गुणा किया जाए तब-

⇒a⨉a⨉a⨉a........⨉a(m बार)=a^m

जहाँ वास्तविक संख्या a को आधार (Base) और m को घातांक (Indices) कहते हैं |

घातांक के नियम (Laws of Indices)

(i) ${{a}^{m}}\times {{a}^{n}}={{a}^{\left( m+n \right)}}$

(ii) $\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{\left( m-n \right)}}$

(iii) ${{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m\times n}}$

(iv) $a{}^{-m}=\frac{1}{{{a}^{m}}}$

(v) ${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{m}}=\frac{{{a}^{m}}}{{{b}^{m}}}$

(vi) ${{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}{{b}^{m}}$

(vii) ${{a}^{m}}\times {{b}^{m}}={{\left( a\times b \right)}^{m}}$

(viii) ${{a}^{0}}={{a}^{m-m}}=\frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{m}}}=1$

करणी (Surds)

जिस संख्या का मूल (Root) पूर्णतः (Completly) ज्ञात नहीं किया जा सके, ऐसी संख्या के मूल (Root) को करणी (Surds) अथवा अमूलक संख्या (Irrational Quantity) कहते हैं |

जैसे- $\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt[3]{4}$ आदि करणी (Surds) अथवा अमूलक संख्या (Irrational Quantity)  है |

Types of Surds (करणी के प्रकार)-

(i)- शुध्द करणी (Pure Surds) :- ऐसी करणी जिसका परिमेय गुणनखण्ड (Rational Factor) 1 हो, शुध्द करणी कहलाती है |

(ii) मिश्र करणी (Mixed Surds):- ऐसी करणी जिसका एक गुणनखण्ड 1 के अतिरिक्त कोई अन्य परिमेय संख्या हो, मिश्र करणी कहलाती है |

(iii) समरूप अथवा सजातीय करणी (Similar or Like Surds) :- जिन करणियों के अपरिमेय गुणनखण्ड (Irrational Factor) समान होते हैं, समरूप या सजातीय करणियाँ कहलाती हैं |

(iv) संयुग्मी करणी (Conjugate Surds) :- द्विपद वाली ऐसी दो करणियाँ जिनके दोनों पद समान हो, परन्तु दोनों करणियों में दोनों पदों के बीच केवल ‘+’ और ‘-’ चिन्ह का अन्तर हो, संयुग्मी करणी (Conjugate Surds) कहलाती है |

जैसे- $\left( 4+\sqrt{5} \right)$ की संयुग्मी करणी $\left( 4-\sqrt{5} \right)$ होगी |

इसी प्रकार $\left( 2+\sqrt{3} \right)$ की संयुग्मी करणी $\left( 2-\sqrt{3} \right)$ होगी |

करणियों का जोड़, घटाव, गुणनफल तथा भाजन (Addition, subtraction, Product and Division of Surds) :-

करणियों का जोड़, घटाव गुणन और भाजन केवल समान घात (समरूप) वाली करणियों किया जाता है | यदि करणियाँ समान घात में न हो, तो सबसे पहले उन्हें समान घात में बनाया जाता है, फिर उनका जोड़, घटाव, गुणन या भाजन किया जाता है |

उदाहरण :-

(i) समान करणियों का जोड़

$\Rightarrow \sqrt{3}+2\sqrt{3}+5\sqrt{3}$

$=\left( 1+2+5 \right)\sqrt{3}$

$=8\sqrt{3}$

(ii) समान करणियों का घटाव-

$\Rightarrow 5\sqrt{7}-2\sqrt{7}$

$=\left( 5-2 \right)\sqrt{7}$

$=3\sqrt{7}$

(iii) समान करणियों का गुणन –

$\Rightarrow 3\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}$

$=3\times 2\times { { \left( \sqrt { 3 } \right) }^{ 2 } }$

$=3\times 2\times 3$

=18

(iv) समान करणियों का भाजन –

असमान घात वाली करणियों को समान घात वाली करणी बनाना-

(i) सर्वप्रथम दी गयी करणियों की घातों का ल०स० (L.C.M.) ज्ञात करें |

(ii) L.C.M. में जो संख्या प्राप्त हो, उस संख्या को सभी करणियों की घातों के स्थान पर रख दें |

(iii) अब हर करणी की जो घात पहले थी, उस घात से L.C.M. वाली संख्या में भाग दें और जो भागफल आये उसे उस करणी के अन्दर की संख्या पर घात के रूप में चढ़ा दें |

Note :- यदि दो करणियों की तुलना करके यह बताना हो, कि दो करणियों में कौन करणी बड़ी है, तो सबसे पहले देखें कि करणी की घात समान है या नहीं, यदि समान न हो, तो सबसे पहले दी गई करणियों को समान घात में बदल लें |

उदाहरण :- $\sqrt [ 3 ]{ 2 }$  तथा$\sqrt [ 4 ]{ 3 }$  में कौन-सी करणी बड़ी है | (ऊपर Animation को देखें)

परिमेयीकरण गुणनखण्ड (Rationalize Factor) :- यदि दो करणियों का गुणनफल एक परिमेय संख्या (Rational Number) हो, तो प्रत्येक को एक दूसरे का परिमेयीकरण गुणनखण्ड (Rationalize Factor) कहते हैं |

जैसे - $\sqrt { 3 } \times 5\sqrt { 3 }$ 

$=5\times 3=15$

हरों का परिमेयीकरण करना (Rationalization of Denominator of Surds)

किसी भी करणी वाली संख्या के हर को परिमेय संख्या (Rational Number) में बदलने के लिए परिमेयीकरण गुणनखण्ड (Rationalize Factor) से अंश (Numerator) और हर (Denominator) में गुणा करें |

जैसे-$\frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } +1 } $ के हर का परिमेयीकरण करने के लिए अंश और हर में$\left( \sqrt { 2 } -1 \right) $ से गुणा करिए-

$\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}$

$\Rightarrow \frac { \sqrt { 3 } }{ \left( \sqrt { 2 } +1 \right) } \times \frac { \left( \sqrt { 2 } -1 \right) }{ \left( \sqrt { 2 } -1 \right) } $

$=\frac { \sqrt { 3 } \times \sqrt { 2 } -\sqrt { 3 } }{ 2-1 } $

$=\sqrt { 6 } -\sqrt { 3 } $

करणी के नियम (Laws of Surds)

1- ${{\left( \sqrt[m]{a} \right)}^{n}}=a$

2- $\sqrt[m]{ab}=\sqrt[m]{a}\times \sqrt[m]{b}$

3- $\sqrt[m]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}$

4- $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

5- ${{\left( \sqrt[m]{a} \right)}^{n}}=\sqrt[m]{{{a}^{n}}}$