औसत (Average)

 दो या दो से अधिक सजातीय राशियों को जोड़ कर उन राशियों की संख्या से भाग करने पर जो भागफल प्राप्त होता है, उसे उन राशियों का औसत कहते हैं |

उदाहरण- संख्याएँ 2,3,0,5,10 का औसत (Average) ज्ञात कीजिए |

समान्तर श्रेणी (Arithmetic Progression) :- वह श्रेणी जिसके दो क्रमागत पदों (Consecutive Terms) में एक समान (Constant) अन्तर हो समान्तर श्रेणी कहलाती है |

श्रेणी के दो क्रमागत पदों का अन्तर सार्वअन्तर (Common Difference) कहलाता है |

समान्तर श्रेणी (A.P.) का n वाँ पद तथा n पदों का योग-

⇒a, a+d a+2d, a+3d,..............एक समान्तर श्रेणी है जिसमें a श्रेणी का प्रथम पद और d सर्वान्तर (Common Difference) है |

⇒nवाँ पद = T_n = a+(n-1)d

तथा

n पदों का योग = ${{S}_{n}}=\frac{n}{2}\left[ 2a+\left( n-1 \right)d \right]$

$=\frac{n}{2}\left[ a+l \right]$

जहाँ l = अन्तिम पद

कुछ महत्वपूर्ण बिन्दु

⇒प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग = $\left( 1+2+3+......+n \right)=\frac{1}{2}n\left( n+1 \right)$

⇒प्रथम n विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग = $\left\{ 1+3+5+.....+\left( 2n-1 \right) \right\}={{n}^{2}}$

⇒प्रथम n सम प्राकृत संख्याओं का योग = $\left\{ 2+4+6+.....+2n \right\}=n\left( n+1 \right)$

⇒प्रथम n प्राकृत संख्याओं के वर्गों का योग = $\left\{ {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+.......+{{n}^{2}} \right\}=\frac{1}{6}n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)$

⇒प्रथम n प्राकृत संख्याओं के घनों का योग = $\left( {{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+........+{{n}^{3}} \right)={{\left\{ \frac{1}{2}n\left( n+1 \right) \right\}}^{2}}$

⇒प्रथम से लगातार n तक की प्राकृत संख्याओं (Natural Numbers) का औसत = $\left( \frac{n+1}{2} \right)$

⇒प्रथम से लगातार n तक सम संख्याओं का औसत = $\left( \frac{n+2}{2} \right)$

⇒प्रथम से लगातार n तक की विषम संख्याओं (Odd Numbers) का औसत = $\left( \frac{n+1}{2} \right)$

⇒प्रथम से n तक पूर्ण संख्याओं (Whole Numbers) का औसात = $\frac{n}{2}$

⇒प्रथम से लगातार n सम संख्याओं (Even Numbers) का औसत = $\left( n+1 \right)$

⇒प्रथम से लगातार n विषम संख्याओं (Odd Numbers) का औसत = n

⇒लगातार n पूर्ण संख्याओं (Whole Numbers) का औसत = $\frac{n-1}{2}$

⇒लगातार n सम संख्याओं (Even Numbers) के वर्गों का औसत = $\frac{2\left( n-1 \right)\left( 2n+1 \right)}{3}$

⇒लगातार n तक की सम संख्याओं के वर्गों का औसत = $\frac{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}{3}$

⇒लगातार n तक की विषम संख्याओं (Odd Numbers) के वर्गों का औसत (Average) = $\frac{n\left( n+2 \right)}{3}$

⇒लगातार n तक की प्राकृतिक संख्याओं (Natural Numbers) के वर्गों का औसत = $\frac{\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{6}$

⇒लगातार n तक की प्राकृतिक संख्याओं के घनों का औसत = $\frac{n{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{4}$

⇒यदि दो गाड़ियाँ समान दूरी क्रमशः p किमी/ घण्टा तथा q किमी/घण्टा की चाल (Speed) से चली हो, तो उनकी औसत चाल (Average Speed) =  $\left( \frac{2pq}{p+q} \right)$