Square Roots and Cube Roots – Important Facts and Formulae

वर्ग (Square):- यदि किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा (multiply) कर दिया जाए, तो प्राप्त गुणनफल (product) उस संख्या का वर्ग कहलाता है |

इसी प्रकार 3 का वर्ग 9 होगा |

वर्ग की कुछ विशेषताएँ (Some Properties of Square)

(i)- सम संख्या (Even Number) का वर्ग (Square) सम होता है |

(ii)- विषम संख्या (Odd Number) का वर्ग विषम होता है |

(iii)- दो क्रमागत प्राकृत संख्याओं के वर्ग का अन्तर उनके योग के बराबर होता है |

वर्गमूल (Square Root)

किसी दी गई संख्या का वर्गमूल वह संख्या है, जिसका वर्ग (Square) करने पर दी गयी संख्या प्राप्त होती है |वर्गमूल (Square Root) को  ''√ ''चिन्ह से प्रदर्शित करते हैं |

वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ (Methods to Find Out Square Root)

वर्गमूल (Square Root) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित दो विधियों को प्रयोग में लिया जाता है-

1 - गुणनखण्ड विधि (Factor Method)

Step 1:- सर्वप्रथम, दी गई संख्या का अभाज्य गुणनखण्ड (Prime Factor) करते हैं |

Step 2:- समान गुणनखण्डों के जोड़े बनाये जाते हैं |

Step 3:- तत्पश्चात प्रत्येक जोड़े में से एक-एक गुणनखण्ड लेकर उनका गुणनफल ज्ञात करते हैं, जो गुणनफल प्राप्त होता है, वह दी गई संख्या का वर्गमूल (Square Root) होता है |

उदाहरण – संख्या 6084 का वर्गमूल ज्ञात करिए |

2- भाग विधि (Division Method) :-

Step 1⇒ सर्वप्रथम दी गई संख्या के दाँयी ओर (इकाई के अंक की ओर) से दो-दो अंकों के जोड़े बना लिजिए |

Step 2⇒ बाँयी तरफ के सबसे पहले जोड़े या अंक में ऐसी संख्या से भाग दीजिए, जिसका वर्ग उस अंक या जोड़े से कम या बराबर हो | इसी संख्या को भाजक (Divisor) व भागफल के स्थान पर लिख दीजिये |

Step 3⇒ शेषफल ज्ञात करके अगले जोड़े को शेषफल के दाँयीं तरफ लिख दीजिये |

Step 4⇒ भागफल को दोगुना करने पर प्राप्त संख्या को भाजक (Divisor) के स्थान पर लिख दीजिये |

भाजक के स्थान पर लिखी गयी संख्या के दाँयी  ओर एक ऐसा अंक लिखिए, जिससे बने भाजक (Divisor) को गुणा करने पर प्राप्त हुआ गुणनफल भाज्य के बराबर हो जाए या उससे कम हो |

Step 5⇒ प्राप्त गुणनफल को भाज्य के नीचे लिखकर शेषफल ज्ञात कर लेते हैं और भाजक में रखे अंक को भागफल में लिख लेते हैं |

Step 6⇒ इस प्रक्रिया को तब करते हैं, जब की सभी जोड़े समाप्त न हो जाएँ, जब जोड़े समाप्त हो जाएँ तब प्राप्त भागफल दी गयी संख्या का वर्गमूल (Square Root) होगा |

उदाहरण- 190096 का वर्गमूल (Square Root) ज्ञात कीजिए |

घन (Cube) :- जब एक संख्या को स्वयं उसी से तीन बार गुणा किया जाता है, तो प्राप्त गुणनफल उस संख्या का घन कहलाता है |

जैसे⇒ 3 का घन=3⨉3⨉3=9

घनमूल (Cube Root) :- किसी दी गई संख्या का घनमूल वह संख्या है, जिसे तीन बार गुणा करने पर पुनः दी गई संख्या प्राप्त हो जाए |

जैसे – 27 का घनमूल (Cube Root)

 $=\sqrt{27}=3$

⇒घनमूल का तीन बार गुणा

=3⨉3⨉3

=27

= पुनः दी गई संख्या प्राप्त हुई